爱色电影 小乐数学科普：给数学物理画上句号——译自AMS好意思国数学会专栏

发布日期：2025-06-28 00:01    点击次数：201

全国中的基本力之一是弱力爱色电影。弱力波及将原子集结在通盘或将它们分开......

作家：Ursula Whitcher（乌苏拉·惠彻） 2023-7-1

译者：zzllrr小乐，数学科普微信公众号 2023-7-4

你传奇过句子末尾的句号（period）和正弦波的周期（period，该英文单词一词多义，译者注）。周期这个词在数论中也有衰败的含义。这些周期对于惩处粒子物理知识题终点有效。在本月的专栏中，我将告诉你关联周期是什么、物理学的来历以及整个这些与甜甜圈几何局势的相干的更多信息。

从甜甜圈到积分

也许你听过这么一个见笑：拓扑学家无法辞别咖啡杯和甜甜圈。（淌若你不熟习，请稽查 Keenan Crane 和 Henry Segerman 绘图的关联两者变换的细腻插图。）

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几何学家莽撞辞别咖啡杯和甜甜圈。咱们甚而不错辞别不同类型的甜甜圈。

举例，这是一个厚而甜的甜甜圈：

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一个厚厚的饼状甜甜圈，上头袒护着松软的糖

（相片由5th Luna拍摄， CC BY-NC 2.0）

这是一个薄脆的甜甜圈：

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一个薄脆的甜甜圈，中间有个大孔

（相片由Janet Bianchini拍摄， CC BY-NC 2.0）

但甜甜圈的几何局势是如斯引东说念主入胜，一朝你初始搜检它，就很难再谈判其他事情了！

让咱们改良式地描绘一下两个甜甜圈之间的区别。理思化的数学圆环曲面称为环面（torus，复数tori）。咱们不错使用两个圆来表征圆环的局势，一个圆围绕外部，另一个圆穿过中心的孔。在一个厚厚的饼状环面上，这两个圆的大小约莫相通。

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理思化数学的厚厚的甜甜圈，其圆围绕中心孔并通过中心孔。

在一个薄脆的圆环面上，外圆比内圆大得多。

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理思的数学的薄脆甜甜圈，大圆围绕中心孔，小圆穿过中心孔

在这些示例中，圆很容易测量。但偶而环面以更复杂的神色出现。举例，假定x和y是复数变量，t是复数参数。谈判方程的解

y² = x(x-1)(x-t)

这即是着名的（对于数论学家来说）勒让德椭圆弧线（elliptic curve）族。淌若咱们在“无尽远”处引入一个解，那么从拓扑学上来说，它即是一个环面族。很难绘图两个复变量方程的解，但咱们不错绘图实数值。当设参数t等于3 时，如下所示：

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具有两个实数重量的椭圆弧线

你不错将绘图实数点的图形看作以一定角度切开甜甜圈。在此图中，你不错看到其中一个圆的歪斜版块和第二个圆的一部分。

测量这两个圆的长度很辣手。咱们不错尝试微积分课上的一个通用数学计谋：拓荒一个积分来测量弧长。在这种情况下，符合的积分是：

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这里，积分是在环面/椭圆弧线中符合的浅薄闭合弧线γ上进行的。

但有一个问题！我将用一张容易欺侮的橙色猫的漫画来解释它。

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画了一只睁大眼睛的猫，它说哇，这个积分真是很难！

猫莫得说谎：这个积分真是很难。微积分课上的程序技能不起作用。事实上，这个积分莫得阻滞局势的代数解。

周期和微分方程

积分 

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是一个周期的示例。对于数论学家来说，周期是一个通过在符合的子空间上求代数抒发式的积分而取得的数字。（从技能上讲，咱们应该莽撞使用不等式和有理统统的代数方程组来描绘咱们正在积分的区域。）

许多真谛的常量，举例 π 和 ㏒ 2，都不错写成周期。对于周期有好多大而真谛的问题：举例，咱们怎样描绘哪些数字算作周期出现？使用积分运算，不错解释周期相加或相乘会产生一个新周期。这使得周期具有环（ring）的结构。另一个悬而未决的大问题是描绘周期环自尊的所关忖度。

让咱们回偏激来尝试剖析咱们的特定周期。咱们知说念积分的后果是一个取决于参数t的数字，因此咱们将积分视为函数P(t)。咱们不错对其求导数：

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当咱们求导时，积分符号下的抒发式变得愈加复杂，但它保抓相通的一般局势。通过找到一个公分母（common denominator），咱们不错笃定P(t)、P'(t)和P''(t)之间的相干：

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这是一个微分方程！（它被称为Picard-Fuchs 方程，以法国数学家 Émile Picard（埃米尔·皮卡） 和德国犹太数学家 Lazarus Fuchs（拉扎鲁斯·富克斯） 的名字定名。）算作二阶微分方程，该 Picard-Fuchs 方程有两个孤独的解。这些解对应于环面上的两个不同的圆。

求解微分方程的程序样式是使用无尽级数（infinite series）。在这种情况下，咱们周期的微分方程的解之一不错写成以下级数：

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其平分子波及一个抒发式

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看起来很像高潮阶乘挪动了1/2相似。淌若咱们用简写 

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 替换这个抒发式，咱们的级数就会取得更紧凑的默示法：

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这是一个着名的级数，称为超几何级数（hypergeometric series），其分子参数为1/2，1/2；分母参数为1 （因为分母中唯有一个阶乘）。整个级数偶而用更紧凑的符号抒发：

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关联求解进程的更多详备信息，包括第二个孤独周期的描绘，请参阅 Don Zagier 的真切论文《微分方程的算术和拓扑》  https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.4171/176-1/33/HirzebruchLectureECM2016.pdf 。我思向你展示表面物理学中出现的一个更复杂的周期。

日落和费曼图

在粒子物理学中，描绘电子和光子等基本粒子之间的相互作用波及蓄意贫寒的积分。（更恶运的是，从数学家的角度来看，这些积分可能并不老是细腻无比界说的！）物理学家使用复杂性不断增多的称为费曼图（Feynman diagrams）的图表来组织这些蓄意。创建和操作费曼图有特定的轨则，但在初步类似时，东说念主们不错思象它们敷陈了粒子相遇、相互作用并可能阅历转机，然后分说念扬镳的故事。

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具有多个轮回的费曼图

全国中的基本力之一是弱力（weak force）。弱力波及将原子集结在通盘或将它们分开。它是扬弃辐照性衰变进程并使碳14检测年事成为可能的力量。

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一棵树的横截面

东说念主们不错运用树木年轮来校准碳-14测年的样式。比尔·卡斯曼拍摄（大家鸿沟）。

要进行波及弱力的蓄意，必须使用包含轮回的费曼图。这是一个带有两个轮回的费曼图，偶而称为日落图（sunset diagram）。

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看起来像穿过圆心的箭头的费曼图

好意思国数学家斯宾塞·布洛赫（Spencer Bloch）和法国物理学家皮埃尔·范霍夫（Pierre Vanhove）联手商议日落图。为了简化问题，他们使用了一个唯有两个时空维度的模子。（思象粒子跟着时辰的推移沿着一条线往来挪动。）他们假定相互作用进程中产生的整个粒子都具有相通的质料m，有一个固定的外部动量K，而且他们输入了一个常数μ来均衡单元。后果所以下日落积分：

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这个积分真是终点终点难！

重要问题之一是其分母可能为 0。要了解更多对于那边分母消散，咱们不错设

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后果是一个取决于参数 t的弧线族：

(1+x+y)(x+y+xy) - txy = 0

这是 t=11 的后果图。

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具有两个实数重量且对于直线 y=x 对称的椭圆弧线

该图的特征可能看起来很熟习。咱们有一个歪斜的圆和另一个圆的一部分——甜甜圈切片又讲究了！换句话说，(1+x+y)(x+y+xy) - txy =0 是参数化的椭圆弧线族。

布洛赫和范霍夫承袭了一种看似熟习的计谋。他们设

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 来简化单元，然后寻找一个波及J的微分方程，

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由于该微分方程的右侧不为零，因此求解它比求解咱们之前看到的微分方程更复杂。程序微分方程样式分两步惩处此类问题。最初，求解皆次方程（homogeneous equation），假定右侧为零。然后，找到非皆次方程（inhomogeneous equation）的解，其中右侧口角零常数。

布洛赫和范霍夫解释，对于J⊝的Picard-Fuchs 微分方程的皆次解不错用经典超几何级数来写：

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这个级数用波及 1/12和5/12的高潮阶乘替换咱们之前看到的 1/2。我使用 − 来蛊卦为级数变量插入了更复杂的抒发式。

为了求解完好的非皆次方程，咱们需要另一个衰败常数Li₂(z)，称为二重对数（dilogarithm）。二重对数不错写成无尽级数。当|z| < 1时，

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二重对数亦然一个周期！咱们不错用二重积分来写它。

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因此，周期为咱们提供了一种精准的样式来描绘日落图积分的解，同期亦然吃甜甜圈的事理！

进一步阅读

Spencer Bloch 和 Pierre Vanhove，日落图的椭圆二重对数。J. Number Theory 148 (2015)， 328–364. MR3283183， arXiv:1309.5865 [hep-th]。

马克西姆·康采维奇和唐·扎吉尔，周期。Mathematics unlimited—2001 and beyond， 771–808， Springer， Berlin， 2001. MR1852188， IHEP

文爱聊天

Stefan Müller-Stach， 什么是……周期？AMS 告知， 2014年9月

Don Zagier，微分方程的算术和拓扑。欧洲数学大会，717–776， Eur. Math. Soc.， Zürich， 2018. MR3890449， MPIM

唐·扎吉尔 (Don Zagier)，《超卓的二重对数》。J. Math. Phys. Sci. 22 (1988)， no. 1， 131–145. MR940391， MPIM

致谢

我感谢英国剑桥艾萨克·牛顿数学科学商议方位 K 表面、代数环和动机同伦表面名目时间给以的复古和温雅理睬，我在该商议所的 30周年庆祝行动时间展示了该本色的一个版块。这项责任取得了 EPSRC （编号EP/R014604/1）的复古。

参考府上

https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2023/07/01/period-math-physicals/

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